Mathematik

(diese Seite wird noch bearbeitet - letztes Update: 28.06.2017)

Mathematik

...ist ein ziemlich großes Feld. Hier sollen, in aller gebotenen Kürze (iagK), einige wichtige und oft genutzte Rechenregeln, Formeln u.ä. angegeben werden.

Geometrie

Flächen (2D Formen)

Flächeninhalt F Umfang U
Dreieck F = a · h / 2 U = a + b + c Das gilt natürlich auch im rechtwinkligen Dreieck.
Man klappt "b" in die Senkrechte und erhält: h = b
Rechteck F = a · b U = 2a + 2b Im Quadrat ist a = b und die Formeln vereinfachen sich dementsprechend.
Kreis F = π · r2 U = 2r · π

Es gibt noch viele weitere 2D Formen, wie z.B. Vieleck/Polygon, Raute, Rombus & Trapez. Weitere Informationen dazu findet ihr bei den Links.

Volumen (3D Formen)

Volumen V Oberfläche O
Quader V = a · b · c O = 2 · (a·b + a·c + b·c) Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang: a = b = c
Zylinder V = π · r2 · h O = 2 · π · r2 + 2r · π · h

(Zwei Deckel + Mantel)
Pyramide V = 1/3 · a2 · h O = a2 + a · √(4 · h2 + a2)

(Boden + Mantel)
Kegel V = 1/3 · π · r2 · h O = π · r2 + π · r · √(h2 + r2)

(Boden + Mantel)
Kugel V = 4/3 · π · r3 O = 4 · π · r2

Es gibt viele weitere 3D Formen, wie z.B. schräge Kegel & schräge Pyramiden. Diese und Themen wie Schwerpunkte & unregelmäßige Formen findet ihr bei den Links.


Weiterführende Links:
Wikipedia - Geometrie
Wikipedia - Vielecke / Polygone
Wikipedia - Geometrischer Schwerpunkt

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Trigonometrie

...ist ein Teilgebeit der Geometrie (und bedeutet etwa Dreiecksmessung/-berechnung).

Das Rechtwinklige Dreieck

rechtwinkliges Dreieck
Bild: Rechtwinkliges Dreieck

rechtwinkliges Dreieck
Bild: Höhenlinie & Teilstrecken

...ist ein Sonderfall des allgemeinen Dreiecks. Allerdings kann jedes Dreieck, durch Teilung an der "Höhenlinie" (siehe rechte Abbildung), in zwei rechtwinklige Dreiecke zerteilt werden (und somit wie zwei rechtwinklige Dreiecke behandelt werden).


Im rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Sätze:

Summe der Innenwinkel α + β + γ = 180° (gilt in jedem Dreieck)
α + β = 90° (im rechtw. Dreieck, da γ = 90°)
Satz des Pythagoras a2 + b2 = c2 Beweis
Kathetensatz von Euklid a2 = c · p
b2 = c · q
Beweis
Höhensatz von Euklid h2 = p · q Beweis
Strahlensatz Beweis

Zusäzlich kann aus jedem (der beiden spitzen) Winkel das Verhältnis zweier Seiten ermittelt werden. Die Seiten sind dabei wie folgt definiert (immer bezüglich eines der beiden spitzen Winkel):

Hypotenuse Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Gegenkathete Die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt.
Ankathete Die Seite, die an dem Winkel anliegt.

Darauf basierend werden folgende Winkelfunktionen definiert:

sin() Gegenkathete / Hypotenuse
cos() Ankathete / Hypotenuse
tan() Gegenkathete / Ankathete

Zu jeder dieser Funktionen gibt es eine definierte Kehrwertfunktion (Sekans sec(), Kosekans cosec() und Kotangens cot()) und eine Umkehrfunktion, mit der die zugehörigen Winkel errechnet werden (Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens).

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Der Einheitskreis

Einheitskreis
Bild: Einheitskreis

Einheitskreis
Bild: Bogenmaß

...ist ein Kreis mit dem Radius r = 1. Hieran können Dinge wie Winkel, Winkelfunktionen und Bogenmaß erläutert werden.

Der Umfang eines Kreises (s.o.) mit dem Radius r = 1 beträgt 2π, daher kann der Winkel auch als Bogenmaß (der Weg, der auf dem Kreisbogen zurückgelegt wird) angeben werden.


Die Winkelfunktionen können nun genutzt werden, um die verschiedenen rechtwinkligen Dreiecke, die sich im Einheitskreis ergeben (s. Bild), zu berechnen. Dabei ist die Hypotenuse gleich dem Radius (r = 1) des Kreises.

Einheitskreis
Bild: Sinus & Cosinus im rechtwinkligen Dreieck

Dadurch werden die beiden Funktionen

sin() = Gegenkathete/Hypotenuse

und

cos() = Ankathete/Hypotenuse

durch 1 geteilt und sind so gleich einer Seitenlänge des "Einheitsdreiecks" (sin() = grün; cos() = blau).


Wertebereich
Winkel [0°, 360°] Der "Zeiger" auf 3:00 Uhr bedeutet dabei 0°. Die Drehrichtung läuft entgegen des Uhrzeigersinns.
Wenn der "Zeiger" nach oben zeigt sind es also 90° und eine ganze Umdrehung 360°.
Bogenmaß [0, 2π] Umrechnung zw. Winkel (W) und Bogenmaß (B):
B = W · 2π / 360°
W = B · 360° / 2π
Winkelfunktionen
sin()
cos()
tan()

[-1, +1]
[-1, +1]
[-unendl., +unendl.]

Sinus
Bild: Sinus

Cosinus
Bild: Cosinus

Wenn man nun den Weg der "Radiusspitze" als x Koordinate und die Gegen- bzw. Ankathede auf der y Koordinate aufträgt, erhält man die typische Sinus- bzw. Cosinuskurve.

Eine Schwingung ist jeweils 2π lang und wiederholt sich danach (und davor) immer wieder.


Es gelten folgende Rechenregeln/Umformungen:

Umrechnungen sin (90° - α) = cos α = sin (α + 90°)
cos (90° - α) = sin α = cos (α - 90°)
Trigonometrischer Pythagoras sin2(α) + cos2(α) = 1
Additionstheoreme sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β
cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
cos α + cos β = 2 cos ((α+β)/2) cos ((α-β)/2)
cos α - cos β = -2 sin ((α+β)/2) sin ((α-β)/2)
sin α + sin β = 2 sin ((α+β)/2) cos ((α-β)/2)
sin α - sin β = 2 cos ((α+β)/2) sin ((α-β)/2)

Weiterführende Links:
Wikipedia - Trigonometrie

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Potenzen & Logarithmen

Potenzen

Potenz
Bild: Potenz

Eine Potenz der Form an enthält die Basis oder Grundzahl a und den Exponenten oder die Hochzahl n.


Dafür gelten folgende Rechenregeln:

ax · ay = a(x+y) ax / ay = a(x-y)
ax · bx = (a·b)x ax / bx = (a/b)x

Logarithmen

Logarithmus
Bild: Logarithmus

Logarithmus
Bild: Logarithmus

Als Logarithmus einer (positiven und reelen) Zahl x zur Basis b bezeichnet man die Zahl y, welche die Gleichung x = by löst.


Dabei nutzt man folgende Schreibweisen für die verschiedenen Basen des Logarithmus:

Logarithmus Die allgemeine Schreibweise für den Logarithmus.
Man spricht: Logarithmus von x zur Basis b
log x Ohne Basis wird meist die Basis 10 angenommen (selten: e (eulersche Zahl)).
ln x Natürlicher Logarithmus, d.h. zur Basis e (eulersche Zahl ~ 2,718...)
lg x Dekadischer oder Zehnerlogarithmus zur Basis 10.
lb x Binärer Logarithmus zur Basis 2.

Rechenregeln für Logarithmen:

Produkte Logarithmus
Quotienten Logarithmus
Potenzen Logarithmus
Wurzeln Logarithmus
Basisumrechnung Logarithmus

Alles weitere zu Potenzen & Logarithmen findet ihr unter den Links:
Wikipedia - Potenzen
Wikipedia - Logarithmen

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Infinitesimalrechnung

Differenzialrechnung

Steigung
Bild: Steigung, Tangente & Sekante

...bedeutet etwa soviel wie Zuwachs- oder Steigungsrechnung. Jedenfalls geht es darum (iagK) Steigungen von Funktionen zu errechnen.

Die Tangente "Berührende" einer Funktion y = f(x0) gibt die Steigung am Punkt x = x0 an. Als Näherung legen wir eine Sekante "Schneidende", so an, daß sie die Funktion am Punkt x = x0 und am Punkt x = x0 + Δx schneidet (Δ = Delta; wird üblicherweise für Differenzen benutzt). Dadurch ergibt sich das Steigungsdreieck.

Die Steigung der Sekante ist dann:

f(x0+Δx) - f(x0)
--------------------
(x0 + Δx) - x0
oder kurz Δy
----
Δx

Je kleiner nun Δx ist, desto weiter nähert sich die Sekante der Tangenten an.

Für jede "Art" von Funktion kann man die Ableitungsfunktion bzw. Steigungsfunktion oder Tangente ermitteln.
Man benutzt üblicherweise f '(x) für die erste Ableitung, f ''(x) für die zweite Ableitung usw. .

Nun setzt man die entsprechenden Formeln ein und läßt dann Δx gegen Null gehen.




Einige elementare Ableitungen:

Funktion f(x) 1. Ableitung f '(x)
c 0 Konstante (c ∈ ℝ)
sin()
cos()
cos()
-sin()
siehe Beispiel 2
tan() 1 / cos2(x) s.u. Quotientenregel
xc c · x(c-1) Potenzregel
(siehe Beispiel 1)
ex
ecx
ex
c · ecx
cx ln (c) · cx

Die folgenden Ableitungsregeln dienen dazu, Ableitungen zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen.
Seien f und g differenzierbare, reelle Funktionen, c ∈ ℝ, dann gilt:

Faktorregel (c · f)' c · f '
Summenregel ( f ± g )' f ' ± g '
Produktregel ( f · g )' f ' · g + f · g '
Quotientenregel ( f / g )' ( f ' · g - f · g ' ) / g2
Kettenregel *) ( f ∘ g )' ( f (g) )' = f '(g) · g '

*) Die Kettenregel mit dem Verkettungszeichen (∘) ist eine Kurzschreibweise für ( f (g(x)) )'. Das bedeutet, die Funktion f ist abhängig von der Funktion g. Diese ist dann erst direkt von x abhängig. Die Lösung ist dann "Äußere Ableitung" · "Innere Ableitung" also: df/dg · dg/dx



Alles weitere zu Differenzialrechnung & Kurvendiskussion findet ihr unter den Links:
Wikipedia - Differentialrechnung
Wikipedia - Kurvendiskussion
Wikipedia - Kettenregel

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Integralrechnung

sin(t/10)
Bild: Ober- & Untersumme

+/- Flächen
Bild: positive und negative Flächen

...bedeutet, Berechnung der Fläche zwischen einer Funktionskurve und der x-Achse.

Auch hier liegt eine Lösung im "unendlich kleinen". Der Ansatz ist dabei, daß man die Fläche unter einer Kurve in "gleichbreite" Streifen schneidet. Für jeden Streifen kann man ein Rechteck bestimmen und den Flächeninhalt berechnen.
Man kann dabei für jedes Rechteck den linksseitigen, rechtsseitigen sowie den höheren oder tieferen Funktionswert für die Höhe des Rechtecks verwenden.

Meist berechnet man die sog. Ober- und Untersumme des Integrals. Als Untersumme bezeichnet man die Addition der jeweils kleineren Rechtecke (mittelblaue Fläche) und als Obersumme die Addition der jeweils größeren Rechtecke (mittelblaue + hellblaue Fläche).
Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen ergeben negative Werte. Falls man den Absolutwert solch einer Fläche braucht, muß man also jeweils die Flächen zwischen den Nullpunkten errechnen und dann die Absolutwerte addieren.

Wenn man nun die Rechtecke immer schmaler werden läßt (Δx gegen 0), nähern sich die beiden Ergebnisse einmal "von oben" und einmal "von unten" dem genauen Flächeninhalt an.

Bei einer Teilung in n Rechtecke erhält man n+1 Stützstellen auf der x Achse {x0, x1, ..., xn}.
Man spricht dann auch von einer Zerlegung Z von [a, b] in n Teile, wobei gilt:
a = x0 < x1 < ... < xn = b

Man erhält für Unter- und Obersumme:
Näherung mit äquidistanten Stützstellen Näherung mit Zerlegung Z
Untersumme U = Σ(k=1..n) Δx · min( f(xk-1) ; f(xk) ) Untersumme
Obersumme O = Σ(k=1..n) Δx · max( f(xk-1) ; f(xk) ) Obersumme
Es gibt verschiedene "Teilsummen Ansätze", aber alle verfolgen dabei das selbe Prinzip.
Limes superior (sup) und Limes inferior (inf) sind zwei Grenzwertfunktionen, die jeweils den x Wert (in dem Teilintervall) ermitteln, für den der maximale oder minimale Funktionswert f(x) erreicht wird.

Für eine unendliche Teilung des Intervalls [a, b] erhält man:

Summe -> Integral

Die Bildung des Integrals nennt man Integration. Man erstellt dabei die Stammfunktion F(x) zu einer Funktion f(x). Dazu benutzt man die Umkehrung der Ableitung.

Daher gilt:

F '(x) = F(x)/dx = f (x)

F (x) = ∫ f (x) dx


Man unterscheidet zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen. Unbestimmte Integrale haben eine Stammfunktion aber keine obere und untere Grenze. Daher kann man auch keine Fläche berechnen.

Ein bestimmtes Integral kann "bestimmt" bzw. berechnet werden, da wir die Grenzen des Integrals kennen. Dieses Integral kann dann aufgelöst werden.
Summe -> Integral



Desweiteren sollte man sich mit Integrationskonstante, Integrierbarkeit, Stetigkeit, Definitionsbereich, Nullstellen u.ä. befaßen (siehe Links).


Alles weitere zu Integralen, Stammfunktionen, Integrierbarkeit u.ä. findet ihr unter den Links:
Wikipedia - Integralrechnung
Wikipedia - Stammfunktion

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Nachfolgend werden einige, häufig verwendbare, Beweisverfahren gezeigt.

Vollständige Induktion

...nennt man eine mathematische Beweismethode, mit der eine Aussage, in der Form

a(n) = b(n) ; n ∈ ℕ,

für alle natürlichen Zahlen (ab einem bestimmten Startwert), bewiesen wird.

Da es sich um unendlich viele Zahlen handelt, kann solch ein Beweis nicht für alle Einzelfälle durchgeführt werden. Er wird daher in zwei Schritten durchgeführt:
1.) Induktionsanfang für die kleinste Zahl, für die man die Aussage beweisen will - (meist 1 oder 0)
2.) Induktionsschritt für die nächste Zahl, die auf eine variable Zahl folgt




Links
Wikipedia - Vollständige Induktion

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