Mathematik

...ist ein ziemlich großes Feld.

Die folgende Themenauswahl ist das Ergebnis mehrjähriger Nachhilfe für Abiturienten.

Hier sollen, in aller gebotenen Kürze (iagK), einige wichtige und oft genutzte Rechenregeln, Formeln u.ä. angegeben werden.

Geometrie

Flächen (2D Formen)

		Flächeninhalt F	Umfang U
Dreieck		F = a · h / 2	U = a + b + c	Das gilt natürlich auch im rechtwinkligen Dreieck. Man klappt "b" in die Senkrechte und erhält: h = b
Rechteck		F = a · b	U = 2a + 2b	Im Quadrat ist a = b und die Formeln vereinfachen sich dementsprechend.
Kreis		F = π · r2	U = 2r · π

Es gibt noch viele weitere 2D Formen, wie z.B. Vieleck/Polygon, Raute, Rombus & Trapez. Weitere Informationen dazu findet ihr bei den Links.

Volumen (3D Formen)

		Volumen V	Oberfläche O
Quader		V = a · b · c	O = 2 · (a·b + a·c + b·c)	Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang: a = b = c
Zylinder		V = π · r2 · h	O = 2 · π · r2 + 2r · π · h (Zwei Deckel + Mantel)
Pyramide		V = 1/3 · a2 · h	O = a2 + a · √(4 · h2 + a2) (Boden + Mantel)
Kegel		V = 1/3 · π · r2 · h	O = π · r2 + π · r · √(h2 + r2) (Boden + Mantel)
Kugel		V = 4/3 · π · r3	O = 4 · π · r2

Es gibt viele weitere 3D Formen, wie z.B. schräge Kegel & schräge Pyramiden. Diese und Themen wie Schwerpunkte & unregelmäßige Formen findet ihr bei den Links.

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Trigonometrie

...ist ein Teilgebeit der Geometrie (und bedeutet etwa Dreiecksmessung/-berechnung).

Das Rechtwinklige Dreieck

Bild: Rechtwinkliges Dreieck

Bild: Höhenlinie & Teilstrecken

...ist ein Sonderfall des allgemeinen Dreiecks. Allerdings kann jedes Dreieck, durch Teilung an der "Höhenlinie" (siehe rechte Abbildung), in zwei rechtwinklige Dreiecke zerteilt werden (und somit wie zwei rechtwinklige Dreiecke behandelt werden).

Im rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Sätze:

Zusäzlich kann aus jedem (der beiden spitzen) Winkel das Verhältnis zweier Seiten ermittelt werden. Die Seiten sind dabei wie folgt definiert (immer bezüglich eines der beiden spitzen Winkel):

Darauf basierend werden folgende Winkelfunktionen definiert:

Zu jeder dieser Funktionen gibt es eine definierte Kehrwertfunktion (Sekans sec(), Kosekans cosec() und Kotangens cot()) und eine Umkehrfunktion, mit der die zugehörigen Winkel errechnet werden (Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens).

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Der Einheitskreis

Bild: Einheitskreis

Bild: Bogenmaß

...ist ein Kreis mit dem Radius r = 1. Hieran können Dinge wie Winkel, Winkelfunktionen und Bogenmaß erläutert werden.

Der Umfang eines Kreises (s.o.) mit dem Radius r = 1 beträgt 2π, daher kann der Winkel auch als Bogenmaß (der Weg, der auf dem Kreisbogen zurückgelegt wird) angeben werden.

Die Winkelfunktionen können nun genutzt werden, um die verschiedenen rechtwinkligen Dreiecke, die sich im Einheitskreis ergeben (s. Bild), zu berechnen. Dabei ist die Hypotenuse gleich dem Radius (r = 1) des Kreises.

Bild: Sinus & Cosinus im rechtwinkligen Dreieck

Dadurch werden die beiden Funktionen

sin() = Gegenkathete/Hypotenuse

und

cos() = Ankathete/Hypotenuse

durch 1 geteilt und sind so gleich einer Seitenlänge des "Einheitsdreiecks" (sin() = grün; cos() = blau).

Bild: Sinus

Bild: Cosinus

Wenn man nun den Weg der "Radiusspitze" als x Koordinate und die Gegen- bzw. Ankathede auf der y Koordinate aufträgt, erhält man die typische Sinus- bzw. Cosinuskurve.

Eine Schwingung ist jeweils 2π lang und wiederholt sich danach (und davor) immer wieder.

Es gelten folgende Rechenregeln/Umformungen:

Umrechnungen	sin (90° - α) = cos α = sin (α + 90°)
	cos (90° - α) = sin α = cos (α - 90°)
Trigonometrischer Pythagoras	sin2(α) + cos2(α) = 1
Additionstheoreme	sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β
	cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
	cos α + cos β = 2 cos () cos ()
	cos α - cos β = -2 sin () sin ()
	sin α + sin β = 2 sin () cos ()
	sin α - sin β = 2 cos () sin ()

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Potenzen & Logarithmen

Potenzen

Bild: Potenz

Eine Potenz der Form aⁿ enthält die Basis oder Grundzahl a und den Exponenten oder die Hochzahl n.

Dafür gelten folgende Rechenregeln:

Logarithmen

Bild: Logarithmus

Bild: Logarithmus

Als Logarithmus einer (positiven und reellen) Zahl x zur Basis b bezeichnet man die Zahl y, welche die Gleichung x = b^y löst.

Dabei nutzt man folgende Schreibweisen für die verschiedenen Basen des Logarithmus:

	Die allgemeine Schreibweise für den Logarithmus. Man spricht: Logarithmus von x zur Basis b
log x	Ohne Basis wird meist die Basis 10 angenommen (selten: e (eulersche Zahl)).
ln x	Natürlicher Logarithmus, d.h. zur Basis e (eulersche Zahl ~ 2,718...)
lg x	Dekadischer oder Zehnerlogarithmus zur Basis 10.
lb x	Binärer Logarithmus zur Basis 2.

Rechenregeln für Logarithmen:

Produkte
Quotienten
Potenzen
Wurzeln
Basisumrechnung

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Infinitesimalrechnung

Differenzialrechnung

Bild: Steigung, Tangente & Sekante

...bedeutet etwa soviel wie Zuwachs- oder Steigungsrechnung. Jedenfalls geht es darum (iagK) Steigungen von Funktionen zu errechnen.

Die Tangente "Berührende" einer Funktion y = f(x₀) gibt die Steigung am Punkt x = x₀ an. Als Näherung legen wir eine Sekante "Schneidende", so an, daß sie die Funktion am Punkt x = x₀ und am Punkt x = x₀ + Δx schneidet (Δ = Delta; wird üblicherweise für Differenzen benutzt). Dadurch ergibt sich das Steigungsdreieck.

Die Steigung der Sekante ist dann:

Je kleiner nun Δx ist, desto weiter nähert sich die Sekante der Tangenten an.

Für jede "Art" von Funktion kann man die Ableitungsfunktion bzw. Steigungsfunktion oder Tangente ermitteln.
Man benutzt üblicherweise f '(x) für die erste Ableitung, f ''(x) für die zweite Ableitung usw. .

Nun setzt man die entsprechenden Formeln ein und läßt dann Δx gegen Null gehen.

Ableitungsformel	f´(x0)	= [ f (x0+Δx) - f (x0) ] / Δx
einsetzen		= { [ (x0+Δx)2 + 5(x0+Δx) + 4 ] - [ x02 + 5x0 + 4 ] | / Δx
auflösen		= { [ x02+Δx2 + 2x0Δx + 5x0 + 5Δx + 4 ] - [ x02 + 5x0 + 4 ] | / Δx
sortieren		= [ Δx2 + 2x0Δx + 5Δx ] / Δx
kürzen *)		= Δx + 2x0 + 5
		= 2x0 + 5

*) Achtung: Natürlich darf man nicht durch 0 teilen. Dafür verwendet man den sog. Grenzwert . Wenn man Δx "nur" "unendlich klein" werden läßt, kann man damit normal weiterrechnen. Wenn Δx also gegen 0 läuft, läuft die Funktion gegen ihren Grenzwert.

Einige elementare Ableitungen:

Die folgenden Ableitungsregeln dienen dazu, Ableitungen zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen.
Seien f und g differenzierbare, reelle Funktionen, c ∈ ℝ, dann gilt:

*) Die Kettenregel mit dem Verkettungszeichen (∘) ist eine Kurzschreibweise für ( f (g(x)) )'. Das bedeutet, die Funktion f ist abhängig von der Funktion g. Diese ist dann erst direkt von x abhängig. Die Lösung ist dann "Äußere Ableitung" · "Innere Ableitung" also: df/dg · dg/dx

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Integralrechnung

Bild: Ober- & Untersumme

Bild: positive und negative Flächen

Man erhält für Unter- und Obersumme:

	Näherung mit äquidistanten Stützstellen	Näherung mit Zerlegung Z
Untersumme	U = Σ(k=1..n) Δx · min( f(xk-1) ; f(xk) )
Obersumme	O = Σ(k=1..n) Δx · max( f(xk-1) ; f(xk) )

Es gibt verschiedene "Teilsummen Ansätze", aber alle verfolgen dabei das selbe Prinzip.
Limes superior (sup) und Limes inferior (inf) sind zwei Grenzwertfunktionen, die jeweils den x Wert (in dem Teilintervall) ermitteln, für den der maximale oder minimale Funktionswert f(x) erreicht wird.

Für eine unendliche Teilung des Intervalls [a, b] erhält man:

Die Bildung des Integrals nennt man Integration. Man erstellt dabei die Stammfunktion F(x) zu einer Funktion f(x). Dazu benutzt man die Umkehrung der Ableitung.

Daher gilt:

F '(x) = F(x)/dx = f (x)

F (x) = ∫ f (x) dx

Man unterscheidet zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen. Unbestimmte Integrale haben eine Stammfunktion aber keine obere und untere Grenze. Daher kann man auch keine Fläche berechnen.

Ein bestimmtes Integral kann "bestimmt" bzw. berechnet werden, da wir die Grenzen des Integrals kennen. Dieses Integral kann dann aufgelöst werden.

Betrachten wir die nebenstehende Funktion:

Ein Autofahrer startet
- am Ort s = 0 m
- zur Zeit t = 0 s.

Seine Geschwindigkeit (blauer Graph) folgt dabei innerhalb der ersten 15 s der Funktion
v(t) = 25 · sin(t/10) m/s.

Wenn wir die Geschwindigkeitsfunktion [v in m/s] nach t ableiten, erhalten wir die "Steigung der Geschwindigkeit" (roter Graph) also die Beschleunigung [a in m/s²].

Wenn wir die Geschwindigkeitsfunktion über t integrieren erhalten wir den zurückgelegten Weg [s in m] (hellblaue Fläche) in dieser Zeit.

Geschwindigkeit
v(t) = 25 · sin(t/10) m/s

Beschleunigung
v´(t) = v(t)/dt = a(t) = 2,5 · cos(t/10) m/s²

Strecke / Weg
V(t) = ∫v(t) dt = s(t) = [ -250 · cos(t/10) ]₀¹⁵ m
=> s = [ -250 · cos(15/10) ] - [ -250 · cos(0/10) ] m = 250 · ( cos(0) - cos(3/2) ) m
=> s = 250 · ( 1 - 0,0707 ) m = 232,3157 m

Schauen wir uns doch mal das Ergebnis der
Ober- & Untersumme an (für n=15 => Δt=1s).

Es ergeben sich folgende Funktionswerte:

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
v(t)	0,000	2,496	4,967	7,388	9,735	11,986	14,116	16,105	17,934	19,583	21,037	22,280	23,301	24,089	24,636	24,937

Damit ergibt sich für die Obersumme O(Z) = 244,59 m und die Untersumme U(Z) = 219,653 m.
Der Mittelwert davon M(O;U) = 232,122 m.

Man sieht, daß die Teilung in 15 Rechtecke schon sehr nah am realen Wert (232,3157 m) liegt.

Beschleunigung (konstant)		a (t) = g
Geschwindigkeit (Integral der Beschleunigung)		v (t) = g · t
Weg oder Strecke (Integral der Geschwindigkeit)		s (t) = g/2 · t2

Wie man sieht, gilt auch hier;
s''(x) = v'(x) = a(x)

Man kann mit diesen drei Formeln fast alle Aufgaben zum "Freien Fall" (ohne Luftwiderstand) beantworten:

Wie weit fällt ein Gegenstand in 10 s ?	s(10) = 5 m/s2 · 100 s2 = 500 m
Wie hoch ist seine Geschwindigkeit nach 10 s ?	v(10) = 10 m/s2 · 10 s = 100 m/s
Wie lange braucht er um 300 m tief zu fallen ?	s(t) = 5 m/s2 · t2 = 300 m ⇒ t2 = 300 m · s2/5m = 60 s2 ⇒ t = √(60) s ~ 7,75 s
Nach welcher Strecke hat er die Schallgeschwindigkeit (vL = 340 m/s) erreicht?	v(t) = g · t = vL = 340 m/s ⇒ t = (340 m/s) / g = 34 s Es dauert also 34 s, bis ein Gegenstand die Schallgeschwindigkeit erreicht. ⇒ s(34s) = g/2 · t2 = 5 m/s2 · (34 s)2 ⇒ s(34s) = 5·34·34 m = 5780 m = 5,78 km
Wie lange dauert es, bis er die Geschwindigkeit v = 25 m/s erreicht hat?	v (t) = g · t = 25 m/s ⇒ t = (25 m/s) / g = 2,5 s

Desweiteren sollte man sich mit Integrationskonstante, Integrierbarkeit, Stetigkeit, Definitionsbereich, Nullstellen u.ä. befaßen (siehe Links).

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Nachfolgend werden einige, häufig verwendbare, Beweisverfahren gezeigt.

Vollständige Induktion

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